概率论基础模型02

概率论基础模型(用到多少，学多少 =_=)

皮尔逊相关系数（Pearson correlation coefficient）

皮尔逊相关系数（通常记作 $r$ 或 $\rho$ ）是衡量 两个连续变量之间线性关系强度和方向 的指标。

• 取值范围：$[-1,1]$

• 含义：

  • $r=1$：完全正线性相关（一个变量增大，另一个变量严格增大）

  • $r=-1$：完全负线性相关（一个变量增大，另一个变量严格减小）

  • $r=0$：无线性相关（可能存在非线性关系，但没有线性趋势）

假设有两个变量 $X=(x_1,x_2,...,x_n)$ 和 $Y=(y_1,y_2,...,y_n)$，其样本皮尔逊相关系数为：

$$r_{XY}=\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2}\sqrt{\sum _{i=1}^n(y_i-\overline{y}{)}^2}}$$

其中：

• $\overline{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$

• $\overline{y}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{y}_i$

另一种形式（协方差形式）

$$r_{XY}=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{{\sigma }_X{\sigma }_Y}$$

• $\text{Cov}(X,Y)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})$

• ${\sigma }_X,{\sigma }_Y$ 分别是 $X$ 和 $Y$ 的标准差

这也说明了皮尔逊相关系数本质上是标准化的协方差，即协方差除以变量的尺度。

性质

1. 范围：$-1\le r\le 1$

2. 对称性：$r_{XY}=r_{YX}$

3. 无量纲：由于标准化，结果不受单位影响

4. 线性敏感：只衡量线性关系，对非线性相关可能为 0

5. 对离群点敏感：极端值可能显著改变 (r)

直观理解

1. 正相关 (r>0)：点大致沿右上到左下的方向排列

2. 负相关 (r<0)：点大致沿左上到右下排列

3. 不相关 (r\approx 0)：点散乱，无法用直线描述趋势